Question

7．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中，過(guò)點(diǎn)P（1，1）的弦被點(diǎn)P平分，則此弦所在的直線方程為（　�。�

• A． x+2y-3=0
• B． x-2y-3=0
• C． x+2y+3=0
• D． x-2y+3=0

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的弦與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1$，相減化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的弦與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1$，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，
∴$\frac{2×1}{4}$+$\frac{2×1}{2}k$=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴此弦所在的直線方程為$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，
化為x+2y-3=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．