Question

已知函數(shù)f(x)=

ax2+1

bx+c

，(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，f（-1）=-2，f（2）＜3．
（1）求函數(shù)f（x）解析式；
（2）若g（x）=x•f（x），?（x）=g[g（x）]-λg（x），試問：是否存在實數(shù)λ，使∅（x）在（-∞，-1）內(nèi)是單調(diào)遞減，在（-1，0）內(nèi)是單調(diào)遞增的，若存在，求λ值；若不存在，說明理由．
（3）附加題：若m(x)=f(x)-

5

x

，研究函數(shù)m（x），寫出m（x）性質(zhì)，并畫出圖象．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），即

a(-x)2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3結(jié)合a，b∈Z 可求a，b，進而可求f（x）
（2）由（1）可得g（x）=xf（x）=1+x²，則∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，對函數(shù)求導可得∅′（x）=4x³+2（2-λ）x，若使函數(shù)∅（x）在（-∞，-1）內(nèi)是單調(diào)遞減，在（-1，0）內(nèi)是單調(diào)遞增，則∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0，可求λ，代入檢驗是否符合題意
（3）m（x）=f（x）-

5

x

=x-

4

x

，從函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面研究函數(shù)的性質(zhì)

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax2+1

bx+c

，(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即

a(-x)2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

∴c=0，f（x）=

ax2+1

bx

∵f（-1）=-2，f（2）＜3．
∴

a+1 -b =-2 4a+1 2b ＜3

∵

a+1=2b 4a+1-6b 2b ＜0

∴

a-2

a+1

＜0，解得-1＜a＜2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
當a=0時，b=

1

2

∉Z
當a=1時，b=1，滿足題意，此時f（x）=

1+x2

x

（2）∵g（x）=xf（x）=1+x²，
∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=g（1+x²）-λ（1+x²）=1+（1+x²）²-λ（1+x²）
=x⁴+（2-λ）x²+2-λ
∴∅′（x）=4x³+2（2-λ）x
若使函數(shù)∅（x）在（-∞，-1）內(nèi)是單調(diào)遞減，在（-1，0）內(nèi)是單調(diào)遞增
則∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0
∴λ=4，此時∅（x）=x⁴-2x²-2，∅′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）
∅′（x）＞0可得x＞1或-1＜x＜0，即函數(shù)在（1，+∞），（-1，0）單調(diào)遞增
∅′（x）＜0可得0＜x＜1或x＜-1即函數(shù)在（0，1），（-∞，-1）單調(diào)遞減
使∅（x）在（-∞，-1）內(nèi)是單調(diào)遞減，在（-1，0）內(nèi)是單調(diào)遞增的λ=4
（3）m（x）=f（x）-

5

x

=x-

4

x

，圖象如右
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）
值域：R
奇偶性：m（-x）=-x+

4

x

=-m（x），函數(shù)為奇函數(shù)
單調(diào)性：在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性的應用，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的存在及函數(shù)性質(zhì)的研究，考查了考試探索新問題的能力