Question

已知矩陣A=（

3

2

 

a

b

）的兩個特征值為6和1，
（Ⅰ）求a，b的值     （Ⅱ）求矩陣A^-1．

Answer 1

考點：逆變換與逆矩陣,特征值與特征向量的計算

專題：矩陣和變換

分析：本題（Ⅰ）先求出矩陣的特征多項式，再根據(jù)特征值是相應方程的根，利用韋達定理，得到a、b的方程，解方程組得到本題結論；（Ⅱ）先求出detA的值，利用逆矩陣的公式，求出矩陣A的逆矩陣，得到本題結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵A=

3 a 2 b

，
∴矩陣A的特征多項式為：
f(λ)=

.

λ-3 -a -2 λ-b

.

=λ²-（b+3）λ+3b-2a．
∵矩陣A=

3 a 2 b

的兩個特征值為6和1，
∴1和6是方程f（λ）=0的兩個根．
即：λ²-（b+3）λ+3b-2a=0．
∴由韋達定理有

b+3=7 3b-2a=6

，
∴

a=3 b=4

．
（Ⅱ）∵A=

3 3 2 4

，
∴detA=3×4-2×3=6，
∴A^-1=

4 6 - 3 6 - 2 6 3 6

=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．

點評：本題考查了特征多項式、特征值、以及逆矩陣的計算公式，本題難度不大，屬于基礎題．