Question

9．已知點P（1，2）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．若直線l過點P且被圓C截得的線段長為2$\sqrt{7}$，求l的方程．

Answer 1

分析 將圓的方程化為標準方程，找出圓心C坐標與半徑r，根據(jù)題意畫出相應的圖形，取AB的中點為D，連接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|與|AC|的長，利用勾股定理求出|CD|的長，然后分兩種情況考慮：（i）直線l斜率存在時，設斜率為k，表示出l方程，由C到l的距離為3，利用點到直線的距離公式求出k的值，確定出此時l的方程；（ii）當直線l的斜率不存在時，直線x=0滿足題意，綜上，得到所求的直線方程．

解答 解：圓的方程可化為：（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圓心C坐標為（-2，6），半徑r=4，
如圖所示，|AB|=2$\sqrt{7}$，設D是線段AB的中點，則CD⊥AB，
∴|AD|=$\sqrt{7}$，
又∵|AC|=4．
故在Rt△ACD中，可得|CD|=3…（5分）
∴當直線l的斜率不存在時，滿足題意，此時方程為x=1．
當直線l的斜率存在時，設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-2=k（x-1），
由點C到直線AB的距離公式：$\frac{|-2k-6-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，得k=-$\frac{7}{24}$．
此時，直線l的方程為7x+24y-41=0…（11分）
∴所求直線l的方程為x=1或37x+24y-41=0…（12分）

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．