Question

已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），
（1）求g（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，
    ①比較g(x)與g(

1

x

)的大��；
    ②是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導計算g（x）的單調區(qū)間，注意對參數(shù)a的討論，分a＞0和a≤0兩種情況；
（2）①作差g（x）-g(

1

x

)，對差函數(shù)進行求導研究；
②將不等式化為-

1

x

＜g(x0)-g(x)＜

1

x

，從lnx的取值入手研究．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

，g(x)=alnx+

1

x

，
g（x）的定義域為（0，+∞）．
g′(x)=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

①當a≤0時，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的單調區(qū)間；
②當a＞0時，由g'（x）＞0，得x＞

1

a

；由g'（x）＜0，得0＜x＜

1

a

，
即增區(qū)間是(

1

a

，+∞)，減區(qū)間是(0，

1

a

)．
（2）g(x)=lnx+

1

x

，g(

1

x

)=ln

1

x

+x=-lnx+x
∴g(x)-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x=μ(x)
μ′(x)=

2

x

-

1

x2

-1=

-x2+2x-1

x2

=

-(x-1)2

x2

①當x=1時，μ（x）=0，此時g(x)=g(

1

x

)
②當0＜x＜1時，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴g(x)＞g(

1

x

)
③當x＞1時，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴g(x)＜g(

1

x

)．
（3）|g(x)-g(x0)|＜

1

x

?-

1

x

＜g(x0)-g(x)＜

1

x

?lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

∵lnx∈（-∞，+∞），∴g（x₀）＞lnx不能恒成立．
故x₀不存在．

點評：本題是對導數(shù)常用知識的考查，包括求單調區(qū)間，用導數(shù)研究函數(shù)的性質等等，也是高考中經常出現(xiàn)的題型，值得注意的是：在求含參數(shù)的單調區(qū)間時，一定要結合著函數(shù)的定義域，分類討論是經常考察到的思想．