Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n）…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．
（I）設(shè)a為常數(shù)，求證：{a_n}成等比數(shù)列；
（II）設(shè)b_n=a_nf（a_n），數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和是S_n，當(dāng)a=

2

時(shí)，求S_n．

Answer 1

分析：（I）先利用條件求出f（a_n）的表達(dá)式，進(jìn)而求出{a_n}的通項(xiàng)公式，再用定義來(lái)證{a_n}是等比數(shù)列即可；
（II）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再對(duì)數(shù)列{b_n}利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：證明：（I）f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_aa_n=2n+2，可得a_n=a²ⁿ⁺²．
∴

an

an-1

=

a2n+2

a2(n-1)+2

=

a2n+2

a2n

=a2(n≥2，n∈N*)為定值．
∴{a_n}為等比數(shù)列．（5分）
（II）解：b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²．（7分）
當(dāng)a=

2

時(shí)，bn=anf(an)=(2n+2)(

2

)2n+2=(n+1)2n+2．（8分）
S_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵++（n+1）•2ⁿ⁺² ①
2S_n=2×2⁴+3×2⁵+4×2⁶++n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³ ②
①-②得-S_n=2×2³+2⁴+2⁵++2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³（12分）
=16+

24(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺³=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n•2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³．
∴S_n=n•2ⁿ⁺³．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．