Question

【題目】在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)，，，…，，其中是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)，記為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，…，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

（1）求向量的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖像，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.求以曲線為圖像的函數(shù)在上的解析式；

（3）對(duì)任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先設(shè)點(diǎn)，由題意求出，進(jìn)而得到，從而可求出向量；

（2）先由題意，得到是由曲線按向量平移得到的；根據(jù)圖像變換，以及函數(shù)周期，即可得出結(jié)果；

（3）先由為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，得到，再由向量的運(yùn)算法則，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.

（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，所以，

又為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

所以，即，

因此；

（2）由（1），

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖像，

所以的圖像由曲線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，

因此，設(shè)曲線是函數(shù)的圖像，因?yàn)?/span>是以3為周期的周期函數(shù)，

所以也是以為周期的周期函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，；

于是，當(dāng)時(shí)，；

（3）由題意，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

所以在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

所以，

因此，

.