Question

若函數(shù)f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（2-x），且當x≠1時其導函數(shù)f′（x）滿足（x-1）f′（x）＞0，若1＜a＜2，則（ ）
A．f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
B．f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
C．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）=f（2-x）得函數(shù)的對稱軸為x=1．所以f（0）=f（2）．因為1＜a＜2所以0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4．又因為導函數(shù)f′（x）滿足（x-1）f′（x）＞0，所以當x＞1時f（x）為增函數(shù)，當x＜1時f（x）是減函數(shù)．進而利用函數(shù)的單調性比較函數(shù)值的大小即可．
解答：解：因為函數(shù)f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（2-x），
所以函數(shù)的對稱軸為x=1．所以f（0）=f（2）．
因為1＜a＜2所以0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4．
又因為導函數(shù)f′（x）滿足（x-1）f′（x）＞0，
所以當x＞1時f（x）為增函數(shù)，當x＜1時f（x）是減函數(shù)．
所以f（0）＞f（log₂a），f（2^a）＞f（2）．
所以f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）．
故選A．
點評：本題主要考查函數(shù)的性質，解決此類問題的關鍵是先根據(jù)導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性結合題中所給的對稱軸即可比較函數(shù)值的大小，函數(shù)的性質及其性質的應用通常是高考考查的熱點．