Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（a、b∈R），當(dāng)x=

3

3

時(shí)取極小值-

2 3

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果直線y=x+m與曲線y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax³+bx（a、b∈R），當(dāng)x=

3

3

時(shí)取極小值-

2 3

3

．故

f′( 3 3 )=0 f( 3 3 )=- 2 3 3

，解得a，b值后可得f（x）的解析式；
（2）若直線y=x+m與曲線y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即y=m與y=3x³-4x有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=3x³-4x的極大值和極小值分別在直線y=m兩側(cè)，構(gòu)造不等式組，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax³+bx（a、b∈R），當(dāng)x=

3

3

時(shí)取極小值-

2 3

3

，
f′（x）=3ax²+b，
所以

f′( 3 3 )=0 f( 3 3 )=- 2 3 3

解得a=3，b=-3，
所以f（x）=3x³-3x；
（1）

y=x+m y=3x3-3x

⇒m=3x³-4x，
所以直線y=x+m與曲線y=f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)就等價(jià)與y=m與y=3x³-4x有三個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)g（x）=3x³-4x，則g′（x）=9x²-4，
令g′(x)=9x2-4=9(x+

2

3

)(x-

2

3

)=0，得x1=-

2

3

，x2=

2

3

列表得：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值 16 9	↓	極小值- 16 9	↑

故函數(shù)g（x）=3x³-4x的圖象草圖如圖所示：

可知y=m與y=3x³-4x有三個(gè)交點(diǎn)要有三個(gè)交點(diǎn)，
則-

16

9

＜m＜

16

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求解及常用方法，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．