Question

如圖△ABC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長BA至點(diǎn)E，延長DC至點(diǎn)F，使得AE=CF，G，H，M分別為BD，AC，EF的中點(diǎn)，如果G，H，M三點(diǎn)共線．
求證：AB=CD．

Answer 1

分析：由三角形的中位線得，MS∥AE，MS=

1

2

AE，HS∥CF，HS=

1

2

CF，由已知得HS=SM，從而得出∠SHM=∠SMH，則得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不難看出AB=CD．

解答：證明：
取BC中點(diǎn)T，AF的中點(diǎn)S，連GT，HT，HS，SM．…（2分）
∵G，H，M分別為BD，AC，EF的中點(diǎn)
∴MS∥AE，MS=

1

2

AE，HS∥CF，HS=

1

2

CF，∵AE=CF∴HS=SM，
∴∠SHM=∠SMH…（6分）
∵GT∥CD，HT∥AB，GT=

1

2

CD，HT=

1

2

AB
∴GT∥HS，HT∥SM…（9分）
∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG
∴∠TGH=∠THG
∴GT=TH
∴AB=CD…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)．