Question

三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，直線BD∥AC，且直線BD與函數(shù)圖象切于點B，交于點D，直線AC與函數(shù)圖象切于點C，交于點A．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且過點（1，-3），當(dāng)x＜0時求的最大值；
（2）若函數(shù)在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b，并求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）設(shè)點A、B、C、D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D求證    （x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且過點（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入并整理，再結(jié)合基本不等式即可求出其最大值；
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在x=1處取得極值-2，得到；在代入其導(dǎo)函數(shù)，通過比較導(dǎo)數(shù)等于0的兩個根的大小求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）先設(shè)直線BD的方程為y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B），結(jié)合D點在直線上又在曲線上，得到x_D+2x_B+a=0；同理得到x_A+2x_C+a=0；進而求出（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），最后結(jié)合直線BD∥AC得到，結(jié)合上面所找的結(jié)論即可證得（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．
解答：解：（1）由已知得a=c=0，b=-4，
當(dāng)x＜0時當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取得最大值-4（3分）
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，依題意有（5分）
從而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或
由于f（x）在x=1處取得極值，因此，得到c≠-3
①若，即c＜-3，
則當(dāng)時，f′（x）＜0，因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為；       （7分）
②若，即c＞-3，
則當(dāng)時，f′（x）＜0，因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．（8分）
（3）證明：設(shè)直線BD的方程為y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因為D點在直線上又在曲線上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0從而x_D+2x_B+a=0，①
同理有x_A+2x_C+a=0    ②，
由于AC平行于BD，因此f′（x_B）=f′（x_C），得到
進一步結(jié)合①②化簡可以得到，從而x_A-x_B=x_C-x_D
又由①②得：（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1（14分）
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，研究函數(shù)單調(diào)性的能力，函數(shù)與方程的靈活運用能力．