Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（1）當(dāng)x∈[-

π

2

，π]時(shí)，若函數(shù)y=f（sinx）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=sinx∈[-1，1]，要使函數(shù)y=f（sinx）存在零點(diǎn)，即使f（t）在[-1，1]上有零點(diǎn)，可得

f(-1)≥0 f(1)≤0

，解不等式組可得實(shí)數(shù)a的取值范圍及零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）將a=0代入，可得f（x）=x²-4x+3，根據(jù)對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)關(guān)于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答： 解：（1）令t=sinx∈[-1，1]，
∵f（t）=t²-4t+a+3=（t-2）²+a-1，
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，要使f（t）在[-1，1]上有零點(diǎn)，
則

f(-1)≥0 f(1)≤0

，即

a+8≥0 a≤0

∴-8≤a≤0．
∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-8，0]．…（3分）
當(dāng)-3≤a＜0時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=0或-8≤a＜-3，1個(gè)零點(diǎn)…（7分）
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1．
∴當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f（x）∈[-1，3]，記A=[-1，3]．
由題意，知m≠0，當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是增函數(shù)，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，記B=[5-m，5+2m]．
由題意，知A⊆B
∴

-1≥5-m 3≤5+2m m＞0

解得m≥6…（9分）
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是減函數(shù)，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，記C=[5+2m，5-m，]．
由題意，知A⊆C
∴

-1≥5+2m 3≤5-m m＜0

解得m≤-3…（11分）
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，存在性問(wèn)題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系難度較大．