Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，（x∈[-1，2]），且函數(shù)f（x）在x=1和x=-

2

3

處都取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若對(duì)任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可求出a，b的值；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值點(diǎn)，代入可得函數(shù)f（x）的極值；
（3）若對(duì)任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，則函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值＜c²，構(gòu)造關(guān)于c的不等式，解不等式可得實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答：（1）解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，
f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-

1

2

，b=-2                    
（2）由（1）知f′（x）=3x²-x-2，

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）
f′（x）	+	極大值	-	極小值	+
f（x）	↑	c+ 22 27	↓	c- 3 2	↑

∴函數(shù)f（x）的極大值為c+

22

27

，極小值為c-

3

2

（3）∵f（2）=2+c
∴x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值為f（2）=2+c
∵對(duì)于任意的x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴只需2+c＜c²
解得c＜-1或c＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，難度中檔．