已知函數(shù)f（x）=
lim
n→∞
2
n
 
-
x
n
 
2n+
x
n
 
，試求：
（1）f（x）的定義域，并畫出圖象；
（2）求
lim
x→-2-
f（x）、
lim
x→-2+
f（x），并指出
lim
x→-2 
f（x）是否存在．
分析：（1）討論當|x|＞2，|x|＜2，當x=2時和當x=-2時，求出函數(shù)的極限即可得到f（x）的定義域，畫出圖象；
（2）分別求出x→-2-，x→2+時函數(shù)的極限，得到兩者不相等，所以
lim
x→-2 
f（x）不存在．
解答：解：（1）當|x|＞2時，
lim
n→∞
2
n
 
-xn
2n+xn
=
lim
n→∞
(
2
x
)n-1
(
2
x
)n+1
=-1；
當|x|＜2時，
lim
n→∞
2n-xn
2n+xn
=
lim
n→∞
1-(
x
2
)n
1+(
x
2
)n
=1；
當x=2時，
lim
n→∞
2n-xn
2n+xn
=0；
當x=-2時，
lim
n→∞
2n-xn
2n+xn
不存在．
∴f（x）=
-1     (x＞2或x＜-2)
0       (x=2)
1        (-2＜x＜2).

∴f（x）的定義域為{x|x＜-2或x=2或x＞2}．如圖所示精英家教網(wǎng)
（2）∵
lim
x→-2-
f（x）=-1，
lim
x→-2+
f（x）=1．
∴
lim
x→-2
f（x）不存在．
點評：考查學生會求函數(shù)的左極限及右極限并會判斷函數(shù)極限的存在性．會求不同的取值范圍函數(shù)的極限．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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