Question

11．已知函數(shù)f（x）=asinwx+coswx，給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）的圖象恒過（0，1）點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）不可能為奇函數(shù)；
③當(dāng)w=2時，函數(shù)f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{3}$；
④當(dāng)a=$\sqrt{3}$時，存在實(shí)數(shù)w，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞減．
其中正確的命題是①④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可驗(yàn)證；
②由f（-x）=-f（x），可解得當(dāng)coswx=0時函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故②錯誤；
③當(dāng)w=2時，可求f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+θ），求得周期T，即可得解．
④當(dāng)a=$\sqrt{3}$時，可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），解得其單調(diào)遞減區(qū)間，由$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$$≤\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$≤$\frac{2kπ+\frac{4π}{3}}{ω}$，k∈Z，可解得：k=0時，2≤ω≤4，從而得解．

解答 解：∵①f（0）=asin0+cos0=1，故①正確；
②∵假設(shè)：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
則：f（-x）=asin（-wx）+cos（-wx）=-asinwx+coswx=-asinwx-coswx=-f（x），
可解得：2coswx=0，
即當(dāng)coswx=0時函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故②錯誤；
③∵當(dāng)w=2時，f（x）=asin2x+cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+θ），tanθ=$\frac{1}{a}$，
∴周期T=$\frac{2π}{2}=π$，函數(shù)f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，故③不正確；
④∵當(dāng)a=$\sqrt{3}$時，f（x）=$\sqrt{3}$sinwx+coswx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），可解得其單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{4π}{3}}{ω}$]，k∈Z
∴$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$$≤\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$≤$\frac{2kπ+\frac{4π}{3}}{ω}$，k∈Z，可解得：k=0時，2≤ω≤4，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了不等式的解法，屬于基本知識的考查．