【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷在上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負(fù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當(dāng)時(shí), 在上不存在極值;當(dāng)時(shí), 在上存在極值,且極值均為正.
【解析】試題分析:(1)不等式恒成立問題,一般先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題: 的最大值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值,易得在上單調(diào)遞減,所以,因此,(2)即研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況,先求導(dǎo)數(shù),確定研究對(duì)象為,再求目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù),確定單調(diào)性:先增后減,兩個(gè)端點(diǎn)值都小于零,討論最大值是否大于零,最后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
試題解析:解:(Ⅰ)由,得.
即在上恒成立.
設(shè)函數(shù), .
則.
∵,∴.
∴當(dāng)時(shí), .
∴在上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)時(shí), .
∴,即的取值范圍是.
(Ⅱ), .
∴.
設(shè),則.
由,得.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
且, , .
據(jù)(Ⅰ),可知.
(。┊(dāng),即時(shí), 即.
∴在上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)時(shí), 在上不存在極值.
(ⅱ)當(dāng),即時(shí),
則必定,使得,且.
當(dāng)變化時(shí), , , 的變化情況如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ |
∴當(dāng)時(shí), 在上的極值為,且.
∵.
設(shè),其中, .
∵,∴在上單調(diào)遞增, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∵,∴.
∴當(dāng)時(shí), 在上的極值.
綜上所述:當(dāng)時(shí), 在上不存在極值;當(dāng)時(shí), 在上存在極值,且極值均為正.
注:也可由,得.令后再研究在上的極值問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠,很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來越大.長(zhǎng)沙某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市(總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近)采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià):(單位:元/月)和購(gòu)買人數(shù)(單位:萬(wàn)人)的關(guān)系如表:
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(2)①求出關(guān)于的回歸方程;
②若該通信公司在一個(gè)類似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定位25元/ 月,請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測(cè)長(zhǎng)沙市一個(gè)月內(nèi)購(gòu)買該流量包的人數(shù)能否超過20 萬(wàn)人.
參考數(shù)據(jù):,,.
參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸直線方程,
其中,.
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【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1, =9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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【題目】某校高一某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖因事故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題:
(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻率及全班人數(shù);
(2)求分?jǐn)?shù)在[80,90)的頻數(shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高;
(3)若規(guī)定:90分(包含90分)以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在80分(包含80分)以上的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,求在抽取的試卷中至少有一份優(yōu)秀的概率.
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【題目】已知方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,當(dāng)函數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是
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(I)求月利潤(rùn)(千元)與每本紀(jì)念冊(cè)的售價(jià)X的函數(shù)關(guān)系式,并注明定義域:
(II)當(dāng)為何值時(shí),月利潤(rùn)最大?并求出最大月利潤(rùn).
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期、最小值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心;
(2)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,若,求的值.
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【題目】已知函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),成立,若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是()
A. aB. C. D. c
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