Question

9．給出下列命題：
①sin（α+$\frac{π}{2}$）+cos（π-α）=0，
②函數(shù)f（x）=log₃（x²-2x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）；
③已知P：|2x-3|＞1，q：$\frac{1}{{{x^2}+x-6}}$＞0，則P是q的必要不充分條件；
④在平面內(nèi)，與兩圓x²+y²=1及x²+y²-8x+12=0都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線．
其中所有正確命題的序號(hào)為①③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，
②根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行判斷，
③根據(jù)不等式的性質(zhì)和減法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
④根據(jù)圓外切的性質(zhì)以及雙曲線的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：①sin（α+$\frac{π}{2}$）+cos（π-α）=cosα-cosα=0，故①正確，
②設(shè)t=x²-2x，由x²-2x＞0得x＞2或x＜0，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞），
要求函數(shù)函數(shù)f（x）=log₃（x²-2x）的單調(diào)遞減區(qū)間，即求函數(shù)t=x²-2x的單調(diào)遞減區(qū)間，
∵函數(shù)t=x²-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），
∴f（x）=log₃（x²-2x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）；故②錯(cuò)誤，
③已知P：|2x-3|＞1，則x＞2或x＜1，
q：$\frac{1}{{{x^2}+x-6}}$＞0得x²+x-6＞0，則x＞2或x＜-3，
則P是q的必要不充分條件；故③正確，
④設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，
而圓x²+y²=1的圓心為O（0，0），半徑為1；
圓x²+y²-8x+12=0的圓心為F（4，0），半徑為2．
依題意得|PF|=2+r，|PO|=1+r，
則|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，
所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支．故④錯(cuò)誤，
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．