Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)P=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，Q=f （

x1+x2

2

）．試比較P與Q的大��；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a∈[-8，0]，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上的最小值為-7？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1為二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為 x=a-2，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）作差得P-Q=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）-f （

x1+x2

2

）=

(x1-x2)2

4

＞0，由此得到P＞Q．
（3）設(shè)存在這樣的a，由于-8≤a≤0，所以-10≤a-2≤-2，由此結(jié)合對(duì)稱軸利用函數(shù)的單調(diào)性能求出存在a=-1滿足條件．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1為二次函數(shù)，
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為 x=a-2，
要使函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則對(duì)稱軸必在x=1的右側(cè)，
即a-2≥1，解得a≥3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．
（2）P-Q=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）-f （

x1+x2

2

）
=

1

2

[x₁²+（4-2a）x₁+a²+1+x₂²+（4-2a）x₂+a²+1]-[

(x1+x2)2

4

+

1

2

（4-2a）（x₁+x₂）+a²+1]
=

x12+x22

2

-

(x1+x2)2

4

=

(x1-x2)2

4

＞0，
∴P＞Q．
（3）設(shè)存在這樣的a，
由于-8≤a≤0，∴-10≤a-2≤-2，
若-10≤a-2＜-4，即-8≤a＜-2，則f（x） 在[-4，0]上為減函數(shù)，
∴f（0）=a²+1=-7，
無(wú)解；
若-4≤a-2≤-2，即-2≤a≤0，
則f（a-2）=（a-2）²+（4-2a）（a-2）+a²+1=-7，
化簡(jiǎn)得4a+4=0，解得 a=-1，
綜上，存在a=-1滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查兩數(shù)大小的比較，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要注意二次函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．