Question

（2013•虹口區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虛數(shù)單位，且zn+1=2zn+

.

zn

+2i，z₁=1+i．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和：①a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1；②b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算法則，建立關(guān)于a_n與a_n+1、b_n與b_n+1的方程組，可得數(shù)列{a_n}、{b_n}分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①根據(jù)（1）的結(jié)果，算出數(shù)列{a_na_n+1}是以3為首項(xiàng)，公比為9的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列求和公式即可算出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1的值；
②根據(jù)（1）中算出的{b_n}的通項(xiàng)公式，分n為偶數(shù)時(shí)和n為奇數(shù)時(shí)兩種情況討論，對(duì)b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1進(jìn)行分組，提公因式后利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1表達(dá)式的兩種情形，最后再加以綜合即可得到答案．

解答：解：（1）∵z₁=a₁+b₁•i=1+i，∴a₁=1，b₁=1．
由zn+1=2zn+

.

zn

+2i得a_n+1+b_n+1•i=2（a_n+b_n•i）+（a_n-b_n•i）+2i=3a_n+（b_n+2）•i，
∴

an+1=3an bn+1=bn+2

…（3分）
因此，數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)、公差為2的等差數(shù)列，
可得，an=3n-1，b_n=2n-1．…（6分）
（2）①由（1）知an=3n-1，∵

akak+1

ak-1ak

=32，
∴數(shù)列{a_na_n+1}是以3為首項(xiàng)，公比為3²的等比數(shù)列．
∵a1a2+a2a3+…+anan+1=

3(1-32n)

1-9

=

32n+1

8

-

3

8

．…（9分）
②當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1
=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2k-1b_2k-b_2kb_2k+1）
=-4b₂-4b₄-…-4b_2k=-4（b₂+b₄+…+b_2k）
=-4•

k(b2+b2k)

2

=-8k2-4k=-2n2-2n
當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1

=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2k-1b2k-b2kb2k+1)+b2k+1b2k+2

=-8k2-4k+(4k+1)(4k+3)=2n2+2n-1

又∵n=1也滿(mǎn)足上式，
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1=

2n2+2n-1     當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) -2n2-2n        當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)數(shù)的運(yùn)算為載體，求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和它們和的表達(dá)式，著重考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算、等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式等知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．