Question

已知函數(shù)f（x）=

1-ax2

ex

（a∈R），
（1）若a=

1

3

，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求導(dǎo)f′（x）=

x2-2x-3

3ex

，令f′（x）=0，解得x=-1或x=3，即可得出函數(shù)的極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對a分類討論．

解答： 解：f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=

ax2-2ax-1

ex

．
（1）若a=

1

3

，則f （x）=

3-x2

3ex

，f′（x）=

x2-2x-3

3ex

．
令f′（x）=0，解得x=-1或x=3．
當(dāng)x變化時，f′（x），f （x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴當(dāng)x=-1時，f（x）取得極大值f（-1）=

2e

3

，當(dāng)x=3時，f（x）取得極小值f（3）=-

2

e3

．
（2）設(shè)g（x）=ax²-2ax-1
①若a=0，則f （x）=

1

ex

，f′（x）=-

1

ex

＜0，f （x）的減區(qū)間為 （-∞，+∞）．
②若a＞0，則△=4a²+4a＞0，g（x）=ax²-2ax-1的兩個零點(diǎn)為x₁=1-

a2+a

a

，x₂=1+

a2+a

a

．
令f′（x）＜0解得x₁＜x＜x₂，所以 f（x）的減區(qū)間為（x₁，x₂）
③若a＜0，
i）當(dāng)-1≤a＜0時，則△≤0，g（x）≤0恒成立，f′（x）≤0恒成立，所以 f （x）的減區(qū)間為 （-∞，+∞）．
ii）當(dāng)a＜-1時，則△＞0，令f′（x）＜0解得x＜x₂或x＞x₁，所以f（x）的減區(qū)間為（-∞，x₂）和（x₁，+∞）．
故當(dāng)a＞0時，f （x）的減區(qū)間為（x₁，x₂）；
當(dāng)-1≤a≤0時，f （x）的減區(qū)間為 （-∞，+∞）；
當(dāng)a＜-1時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，x₂）和（x₁，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識，考查學(xué)生對分類討論思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．