定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)-1≤x<0時,f(x)=-
2x
4x+1

(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上解析式;
(Ⅱ)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并給予證明;
(Ⅲ)當(dāng)x∈(0,1]時,關(guān)于x的方程
2x
f(x)
-2x+λ=0
有解,試求實數(shù)λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由題意可得,f(0)=0,設(shè) x∈(0,1],可得,-x∈[-1,0),結(jié)合已知函數(shù)解析式及f(x)=-f(-x)即可求解;
(Ⅱ)先設(shè)任意x1、x2(0,1],且x1<x2,然后利用作差法比較f(x1),f(x2)的大小即可判斷
(Ⅲ)利用換元法,設(shè)t=2x,則t∈(1,2],然后結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解即可
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴當(dāng)x=0時,f(x)=0,…(1分)
當(dāng) x∈(0,1]時,-x∈[-1,0),
所以f(x)=-f(-x)=
2x
1+4x
,…(4分)
綜上:f(x)=
2x
1+4x
,x∈(0,1]
0,       x=0
-
2x
1+4x
,x∈[-1,0).
.…(5分)
(Ⅱ)證明:任意x1、x2(0,1],且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
(2x1-2x2)(1-2x1+x2)
(1+4x1)(1+4x2)

由x1<x2,故2x12x2,又1-2x1+x2<0(1+4x1)(1+4x2),
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.…(9分)
(Ⅲ)λ=2x-1-4x,
設(shè)t=2x,則t∈(1,2],
λ=-t2+t-1=-(t-
1
2
)2-
3
4
∈[-3,-1)
.…(14分)
點評:本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解等綜合應(yīng)用.
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設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.
(1)證明f(x)在[-1,1]上是減函數(shù);
(2)如果f(x-c),f(x-c2)的定義域的交集為空集,求實數(shù)c的取值范圍;
(3)證明:若-1≤c≤2,則f(x-c),f(x-c2)存在公共的定義域,并求出這個公共的定義域.

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設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.
(1)證明f(x)在[-1,1]上是減函數(shù);
(2)如果f(x-c),f(x-c2)的定義域的交集為空集,求實數(shù)c的取值范圍;
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設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.
(1)證明f(x)在[-1,1]上是減函數(shù);
(2)如果f(x-c),f(x-c2)的定義域的交集為空集,求實數(shù)c的取值范圍;
(3)證明:若-1≤c≤2,則f(x-c),f(x-c2)存在公共的定義域,并求出這個公共的定義域.

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