Question

【題目】如圖，菱與四邊形相交于， 平面， 為的中點(diǎn)， .

(I)求證： 平面；

(II)求直線與平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）.

【解析】試題分析：(I) 取的中點(diǎn)，連接，要證平面，只需證平面平面，又， 可得；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸， 軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解即可.

試題解析：

證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，

所以，又因?yàn)?/span>，所以，

又，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（Ⅱ）連接，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，則由，得，

又因?yàn)?/span>，所以，

則在直角三角形中， ，所以，且由平面， ，得平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸， 軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即令，得，所以，

又，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.