Question

已知橢圓，常數(shù)m、n∈R⁺，且m＞n．
（1）當(dāng)m=25，n=21時(shí)，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，若，求直線PQ的斜率；
（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率分別為k和-k（k≥1）的兩條直線與橢圓的交點(diǎn)為A、B、C、D（按逆時(shí)針順序排列，且點(diǎn)A位于第一象限內(nèi)），試用k表示四邊形ABCD的面積S；
（3）求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)出P、Q坐標(biāo)，利用若，和P在橢圓上，求出P、Q坐標(biāo)，推出直線PQ的斜率；
（2）寫(xiě)出直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx與橢圓方程聯(lián)立，求出A坐標(biāo)，然后求出四邊形ABCD的面積S；
（3）化簡(jiǎn)S的表達(dá)式，，利用的單調(diào)性，求出函數(shù)S的最大值．
解答：解：（1）∵m=25，n=21，∴．（2分）
設(shè)滿足題意的點(diǎn)為P（x，y）、Q（0，t）．，
∴（-2，-t）=2（x+2，y），．（4分）
．（5分）
∴．（6分）
（2）∵過(guò)原點(diǎn)且斜率分別為k和-k（k≥1）的直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱，
∴四邊形ABCD是矩形．（8分）
設(shè)點(diǎn)A（x，y）．
聯(lián)立方程組于是x是此方程的解，故（10分）
∴．（12分）
（3）．
設(shè)，則g（k）在[1，+∞）上是單增函數(shù)．（13分）
理由：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)k₁、k₂∈[1，+∞），且k₁＜k₂，則
==．（14分）
∵m＞n＞0，k₂＞k₁≥1，∴k₁k₂＞1，mk₁k₂-n＞0．又k₁-k₂＜0，
∴．
∴g（k）在[1，+∞）上是單增函數(shù)，于是g（k）_min=g（1）=m+n．（16分）
∴．
∴．（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率，直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是難度較大題目．