Question

如圖所示，在直三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，AA₁=2，且N是棱A₁B₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：A₁B⊥C₁N；
（Ⅱ）求直線A₁B和直線B₁C夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）由C₁A₁=C₁B₁，且N是棱A₁B₁的中點(diǎn)，可得C₁N⊥A₁B₁．由直三菱柱ABC-A₁B₁C₁可得：AA₁⊥C₁N，利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可得出．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：（I）∵C₁A₁=C₁B₁，且N是棱A₁B₁的中點(diǎn)，∴C₁N⊥A₁B₁．
由直三菱柱ABC-A₁B₁C₁可得：AA₁⊥C₁N，又AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁N⊥平面A₁B．
∴C₁N⊥A₁B．
（II）A₁（1，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2）．
∴

A1B

=（-1，1，-2），

CB1

=（0，1，2）．
∴cos＜

A1B

，

CB1

＞=

A1B • CB1

| A1B || CB1 |

=

-3

6 × 5

=-

30

10

．
∴直線A₁B和直線B₁C夾角的余弦值為

30

10

．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用向量的夾角公式求異面直線的夾角，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．