Question

已知函數(shù)f（x）=x⁵+5x⁴+5x³+1
（1）求f（x）的極值
（2）求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大最小值．

Answer 1

解：f′（x）=5x⁴+20x³+15x²=5x²（x+1）（x+3）
（1）當x≥-1或x≤-3時，f′（x）≥0；-3＜x＜1，f′（x）＜0
函數(shù)在（-∞，-3）單調遞增，在（-3，-1）單調遞減，在（-1，+∞）單調遞增
故當x=-3時函數(shù)有極大值28，當x=-1時函數(shù)有極小值0
（2）由（1）知函數(shù)在[-2，-1]單調遞增，在（-1，2]單調遞減
則當x=-1時函數(shù)有最小值-4
由于f（-2）=9，f（2）=153
所以函數(shù)在[-2，2]上的最大值為153，最小值為-4
分析：對函數(shù)求導可得f′（x）=5x⁴+20x³+15x²=5x²（x+1）（x+3）
（1）先判斷使得f′（x）≥0；f′（x）＜0的范圍極為函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間，進而可求函數(shù)的極值
（2）由（1）知函數(shù)在[-2，-1]單調遞增，在（-1，2]單調遞減，從而可先求得函數(shù)的最小值
再比較端點值f（-2）與f（2）的大小，從而可求
點評：本題是導數(shù)的應用中最基本的試題類型：由導數(shù)的符號求解函數(shù)的單調性，單調區(qū)間，函數(shù)的極值及函數(shù)的最值，此類問題具有固定的求解模式，一般難度不大