已知函數(shù)f(x)=x5+5x4+5x3+1
(1)求f(x)的極值
(2)求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大最小值.

解:f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+1)(x+3)
(1)當x≥-1或x≤-3時,f′(x)≥0;-3<x<1,f′(x)<0
函數(shù)在(-∞,-3)單調遞增,在(-3,-1)單調遞減,在(-1,+∞)單調遞增
故當x=-3時函數(shù)有極大值28,當x=-1時函數(shù)有極小值0
(2)由(1)知函數(shù)在[-2,-1]單調遞增,在(-1,2]單調遞減
則當x=-1時函數(shù)有最小值-4
由于f(-2)=9,f(2)=153
所以函數(shù)在[-2,2]上的最大值為153,最小值為-4
分析:對函數(shù)求導可得f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+1)(x+3)
(1)先判斷使得f′(x)≥0;f′(x)<0的范圍極為函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間,進而可求函數(shù)的極值
(2)由(1)知函數(shù)在[-2,-1]單調遞增,在(-1,2]單調遞減,從而可先求得函數(shù)的最小值
再比較端點值f(-2)與f(2)的大小,從而可求
點評:本題是導數(shù)的應用中最基本的試題類型:由導數(shù)的符號求解函數(shù)的單調性,單調區(qū)間,函數(shù)的極值及函數(shù)的最值,此類問題具有固定的求解模式,一般難度不大
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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