Question

10．若一個(gè)函數(shù)存在定義域和值域相同的區(qū)間，則稱這個(gè)函數(shù)為這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)“保城函數(shù)”，給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=-x³；
②f（x）=3^x；
③f（x）=sin$\frac{πx}{3}$；
④f（x）=2ln3x-3．
其中可以找到一個(gè)區(qū)間使其為保城函數(shù)的有（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)“等值區(qū)間”的定義，要想說明函數(shù)存在“等值區(qū)間”，只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“等值區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答 解：①對(duì)于函數(shù)f（x）=-x³存在“等值區(qū)間”，如 x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x³∈[-1，0]．
②對(duì)于函數(shù)f（x）=3^x，若存在“等值區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有3^a=a，3^b=b，
即方程3^x=x有兩個(gè)解，即y=3^x和y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與y=3^x和y=x的圖象沒有公共點(diǎn)相矛盾，故不存在
“等值區(qū)間”．
③對(duì)于函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{3}$，存在“等值區(qū)間”，如 x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）=sin$\frac{πx}{3}$∈[0，$\frac{1}{2}$]；
④對(duì)于f（x）=2ln3x-3，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有2ln3x-3=x有兩個(gè)解，不成立，所以不存在
“等值區(qū)間”．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，考查了函數(shù)的值域，在說明一個(gè)函數(shù)沒有“等值區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新題．