Question

6．已知集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，命題p：x∈A為x∈B的必要條件；
命題 q：函數f（x）=lg（mx²-mx+3）的定義域為R．若p∧q為假，p∨q為真，求實數m的范圍．

Answer 1

分析 若p∧q為假，p∨q為真，則命題p，q一真一假，進而可得實數m的范圍．

解答 解：集合A={x|x²-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，
若x∈A為x∈B的必要條件，則B?A，
則$\left\{\begin{array}{l}m+1≥-2\\ 2m-1≤5\\ m+1≤2m-1\end{array}\right.$，或m+1＞2m-1，
解得：m≤3，
即命題p：m≤3，
若函數f（x）=lg（mx²-mx+3）的定義域為R．
則mx²-mx+3＞0恒成立，
即m=0，或$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△={m}^{2}-12m＜0\end{array}\right.$，
解得：0≤m＜12，
即命題 q：0≤m＜12，
若p∧q為假，p∨q為真，則命題p，q一真一假，
若p真，q假，則m＜0，
若p假，q真，則3＜m＜12，
綜上可得：m＜0，或3＜m＜12

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了充要條件，集合的包含關系，復合命題，對數函數的圖象和性質，函數的恒成立，難度中檔．