Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x
（I）若f（x）與g（x）具有完全相同的單調(diào)區(qū)間，求a的值；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)恒有f（x）≥g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

（I）∵f（x）=xe^x，∴f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，…（2分）
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增…（4分）
又g′（x）=2ax+1，由g′（-1）=-2a+1=0，得a=

1

2

，
此時(shí)g（x）=

1

2

x²+x=

1

2

(x+1)2-

1

2

，
顯然g（x）在（-∞，-1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故a=

1

2

．…（6分）
（II）當(dāng)x≥0時(shí)恒有f（x）≥g（x），即f（x）-g（x）=x（e^x-ax-1）≥0恒成立．…（7分）
故只需F（x）=e^x-ax-1≥0恒成立，
對(duì)F（x）求導(dǎo)數(shù)可得F′（x）=e^x-a．…（8分）
∵x≥0，∴F′（x）=e^x-a，
若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
從而當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）；…（10分）
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，
從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（0）=0，即f（x）＜g（x），故f（x）≥g（x）不恒成立．
故a的取值范圍為：a≤1----（12分）