Question

15．已知α，β為銳角，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，則α+2β=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosα和cosβ，進(jìn)而由二倍角公式可得sin2β和cos2β，可得cos（α+2β）的值，縮小角的范圍可得．

解答 解：∵α，β為銳角，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{3}{5}$，cos2β=cos²β-sin²β=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+2β）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
又sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{6}$且0＜β＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜α+2β＜$\frac{π}{2}$，∴α+2β=$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及知值求角問題和二倍角公式，縮小角的范圍是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．