Question

【題目】今年入秋以來(lái)，某市多有霧霾天氣，空氣污染較為嚴(yán)重．市環(huán)保研究所對(duì)近期每天的空氣污染情況進(jìn)行調(diào)査研究后發(fā)現(xiàn)，每一天中空氣污染指數(shù)與f（x）時(shí)刻x（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且a∈（0，1）．
（1）若a= ，求一天中哪個(gè)時(shí)刻該市的空氣污染指數(shù)最低；
（2）規(guī)定每天中f（x）的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過(guò)3，則調(diào)節(jié)參數(shù)a應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】
（1）解：a= 時(shí)，f（x）=|log25（x+1）﹣ |+2，x∈[0，24]，

令|log25（x+1）﹣ |=0，解得x=4，

因此：一天中第4個(gè)時(shí)刻該市的空氣污染指數(shù)最低

（2）解：令f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1= ，

當(dāng)x∈（0，25a﹣1]時(shí)，f（x）=3a+1﹣log25（x+1）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=3a+1．

當(dāng)x∈[25a﹣1，24）時(shí)，f（x）=a+1+log25（x+1）單調(diào)遞增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．

聯(lián)立 ，解得0＜a≤ ．

可得a∈ ．

因此調(diào)節(jié)參數(shù)a應(yīng)控制在范圍

【解析】（1）a= 時(shí)，f（x）=|log25（x+1）﹣ |+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣ |=0，解得x即可得出．（2）令f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1= ，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．