Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-ax²-2ax，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用x=1時的導(dǎo)數(shù)為0列方程，解出a的值；
（2）由已知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，只需分離a，然后構(gòu)造函數(shù)，求其最�。ù螅┲导纯桑�

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=

2

3

x3-ax2-2ax，得f′（x）=2x²-2ax-2a．
因為x=1是函數(shù)f（x）的極值點，
所以f′（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

．
經(jīng)檢驗x=1為函數(shù)f（x）的極值點，
所以a=

1

2

．
（Ⅱ）∵f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f'（x）=2x²-2ax-2a≥0在區(qū)間（2，+∞）上恒成立，
∴a≤

x2

x+1

對區(qū)間x∈（2，+∞）恒成立，
令g（x）=

x2

x+1

，則g'（x）=

2x(x+1)-x2

(x+1)2

=

x2+2x

(x+1)2

∴當x∈（2，+∞）時，g'（x）＞0，有g(shù)（x）=

x2

x+1

＞g（2）=

4

3

，
∴a的取值范圍為（-∞，

4

3

]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性的問題．后者一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，能分離參數(shù)的盡量分離．