Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，f（x）=e^-x；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=4x²-4x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函數(shù)g（x）在x∈[0，5]時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）由題可知
由f（x+1）=-f（x）可知f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是以2為最小正周期的周期函數(shù)
故函數(shù)的圖象如右圖所示：
由圖可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
遞增區(qū)間為…
（2）由函數(shù)的圖象可得函數(shù)g（x）在x∈[0，5]時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
即為f（x）=kx根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
則當(dāng)k≥e時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，故g（x）在x∈[0，5]時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；
則當(dāng)1＜k＜e時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故g（x）在x∈[0，5]時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；
則當(dāng)≤k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，故g（x）在x∈[0，5]時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)；
則當(dāng)＜k＜時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時(shí)有四個(gè)交點(diǎn)，故g（x）在x∈[0，5]時(shí)有四個(gè)零點(diǎn)；
則當(dāng)＜k≤時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時(shí)有五個(gè)交點(diǎn)，故g（x）在x∈[0，5]時(shí)有五個(gè)零點(diǎn)；
則當(dāng)0＜k≤時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時(shí)有六個(gè)交點(diǎn)，故g（x）在x∈[0，5]時(shí)有六個(gè)零點(diǎn)；
分析：（1）根據(jù)已知可分析出函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的圖象，平移可得到函數(shù)在R上的圖象，利用圖象法，可分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)的圖象可得函數(shù)g（x）在x∈[0，5]時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f（x）=kx根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象對(duì)k值進(jìn)行分類討論后，可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，特別是（2）中分類比較多，難度較大．