Question

5．已知點(diǎn)A（a，b），B（x，y）為函數(shù)y=x²的圖象上兩點(diǎn)，且當(dāng)x＞a時(shí)，記|AB|=g（x）；若函數(shù)g（x）在定義域（a，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式，求出函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)g（x）在定義域（a，+∞）上單調(diào)遞增，g′（x）≥0恒成立，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵點(diǎn)A（a，b），B（x，y）為函數(shù)y=x²的圖象上兩點(diǎn)，
則b=a²，y=x²，
∴當(dāng)x＞a時(shí)，記|AB|=g（x）=$\sqrt{（x-a）^{2}+（{x}^{2}-{a}^{2}）^{2}}$=（x-a）$\sqrt{1+（x+a）^{2}}$，
若函數(shù)g（x）在定義域（a，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）=$\sqrt{1+（x+a）^{2}}$+$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$=$\frac{{1+{（x+a）}^{2}+x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$=$\frac{{2x}^{2}+2ax+1}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$≥0恒成立，
則2x²+2ax+1≥0恒成立，
則△=4a²-8≤0，
解得：a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故答案為：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，兩點(diǎn)間距離公式，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．