Question

5．已知點A（a，b），B（x，y）為函數y=x²的圖象上兩點，且當x＞a時，記|AB|=g（x）；若函數g（x）在定義域（a，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據兩點之間距離公式，求出函數g（x）的解析式，結合函數g（x）在定義域（a，+∞）上單調遞增，g′（x）≥0恒成立，可得實數a的取值范圍．

解答 解：∵點A（a，b），B（x，y）為函數y=x²的圖象上兩點，
則b=a²，y=x²，
∴當x＞a時，記|AB|=g（x）=$\sqrt{（x-a）^{2}+（{x}^{2}-{a}^{2}）^{2}}$=（x-a）$\sqrt{1+（x+a）^{2}}$，
若函數g（x）在定義域（a，+∞）上單調遞增，
則g′（x）=$\sqrt{1+（x+a）^{2}}$+$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$=$\frac{{1+{（x+a）}^{2}+x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$=$\frac{{2x}^{2}+2ax+1}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$≥0恒成立，
則2x²+2ax+1≥0恒成立，
則△=4a²-8≤0，
解得：a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即實數a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故答案為：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，兩點間距離公式，導數法判斷函數的單調性，難度中檔．