Question

已知△ABC是橢圓+=1的內(nèi)接三角形，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且△ABC的重心在原點(diǎn)0，則A、B、C三點(diǎn)到F的距離之和為（ ）
A．9
B．15
C．12
D．8

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），橢圓的離心率為e，則|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，|CF|=a-ex₃，所以|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（x₁+x₂+x₃），由△ABC的重心在原點(diǎn)O得 x₁+x₂+x₃=0，進(jìn)而可得答案．
解答：解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），橢圓的離心率為e，
則|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，|CF|=a-ex₃，
所以|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（x₁+x₂+x₃），
因?yàn)椤鰽BC的重心在原點(diǎn)O，∴x₁+x₂+x₃=0，
又a=5，
∴|AF|+|BF|+|CF|=15．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓第二定義、焦半徑公式以及三角形重心坐標(biāo)公式，在學(xué)習(xí)過(guò)程中將一些結(jié)論適當(dāng)加以應(yīng)用，常會(huì)使問(wèn)題的解決變得很簡(jiǎn)便．