Question

設(shè)橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，設(shè)過右焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交橢M于A，B兩點(diǎn)，求證|AB|=．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意中的離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)及a，b和c的關(guān)系聯(lián)立方程可求得a和b，進(jìn)而可求得橢圓M的方程．
（Ⅱ）當(dāng)θ≠設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，進(jìn)而可得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出|AB|把tanθ代入化簡(jiǎn)得|AB|=，最后再看當(dāng)θ=時(shí)也符合，進(jìn)而原式得證．
解答：解：（Ⅰ）依題意可得解得a=3，c=3，b=3
∴所求橢圓M的方程為
（Ⅱ）當(dāng)θ≠，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F（3，0），則直線AB的方程為
y=k（x-3）有消去y得
（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有x₁+x₂=2k21+2k2，x₁x₂=
|AB|==
又因?yàn)閗=tanθ=代入上式得
|AB|=
當(dāng)θ=時(shí)，直線AB的方程為x=3，此時(shí)|AB|=3
而當(dāng)θ=時(shí)，AB|==3
綜上所述所以|AB|=|=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用以及橢圓與直線的關(guān)系．在設(shè)直線方程的時(shí)候，一定要考慮斜率不存在時(shí)的情況，以免答案不全面．