Question

11．對于函數(shù)f（x），g（x），如果它們的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在點P處相切，稱點P為這兩個函數(shù)的切點．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-bx（a≠0），g（x）=lnx．
（Ⅰ）當a=-1，b=0時，判斷函數(shù)f（x）和g（x）是否相切？并說明理由；
（Ⅱ）已知a=b，a＞0，且函數(shù)f（x）和g（x）相切，求切點P的坐標；
（Ⅲ）設(shè)a＞0，點P的坐標為$（\frac{1}{e}，-1）$，問是否存在符合條件的函數(shù)f（x）和g（x），使得它們在點P處相切？若點P的坐標為（e²，2）呢？（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=-1，b=0時，函數(shù)f（x）和g（x）不相切．求出a=-1和b=0的函數(shù)式，求出導數(shù)，由導數(shù)符號即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)P（s，t），則lns=as²-as①，f′（s）=g′（s），聯(lián)立消掉a可得關(guān)于s的方程，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得唯一s值，進而可求P的坐標；
（Ⅲ）當點P的坐標為（$\frac{1}{e}$，-1）時，存在；當點P的坐標為（e²，2）時，不存在函數(shù)f（x）和g（x），使得它們在點P處相切．

解答 解：（Ⅰ）結(jié)論：當a=-1，b=0時，函數(shù)f（x）和g（x）不相切．
理由如下：由條件知f（x）=-x²，
由g（x）=lnx，得x＞0，
又因為 f'（x）=-2x，$g'（x）=\frac{1}{x}$，
所以當x＞0時，f'（x）=-2x＜0，$g'（x）=\frac{1}{x}＞0$，
所以對于任意的x＞0，f'（x）≠g'（x）．
當a=-1，b=0時，函數(shù)f（x）和g（x）不相切．
（Ⅱ）若a=b，a＞0，則f'（x）=2ax-a，
$g'（x）=\frac{1}{x}$，
設(shè)切點坐標為（s，t），其中s＞0，
由題意得，as²-as=lns①，$2as-a=\frac{1}{s}$②，
由②，得 $a=\frac{1}{s（2s-1）}$，
代入①，得 $\frac{s-1}{2s-1}=lns$．（*）                   
因為 $a=\frac{1}{s（2s-1）}＞0$，且s＞0，
所以 $s＞\frac{1}{2}$．
設(shè)函數(shù) $F（x）=\frac{x-1}{2x-1}-lnx$，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$ $x∈（0，\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$，
則 $F'（x）=\frac{-（4x-1）（x-1）}{{x{{（2x-1）}^2}}}$．
令F'（x）=0 F'（x）=0，解得x=1或$x=\frac{1}{4}$（舍）．
當x變化時，F(xiàn)'（x）與F（x）的變化情況如下表所示，

x	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	極大值	↘

所以當x=1時，F(xiàn)（x）取到最大值F（1）=0，且當$x∈（\frac{1}{2}，1）∪（1，+∞）$時F（x）＜0．
因此，當且僅當x=1時F（x）=0．
所以方程（*）有且僅有一解s=1．
于是t=lns=0，
因此切點P的坐標為（1，0）．
（Ⅲ）當點P的坐標為（$\frac{1}{e}$，-1）時，存在符合條件的函數(shù)f（x）和g（x），
使得它們在點P處相切；                                                    
當點P的坐標為（e²，2）時，不存在符合條件的函數(shù)f（x）和g（x），
使得它們在點P處相切．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查運用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查構(gòu)造函數(shù)的思想方法，屬于中檔題．