Question

19．函數(shù)f（x）=2^|x|，對于任意的實數(shù)k，定義函數(shù)g_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥k}\\{{x}^{2}+2（k-4）x+（k-4）（k-3），f（x）＜k}\end{array}\right.$．
（1）若k=4，求g_k（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)k，使g_k（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）代入k=4化簡得g₄（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x|}，x≥2或x≤-2}\\{{x}^{2}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$；從而求單調(diào)增區(qū)間；
（2）f（x）=2^|x|的取值范圍，分k≤1與k＞1討論，再分別求單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（1）當k=4時，g₄（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x|}，x≥2或x≤-2}\\{{x}^{2}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$；
由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，
g₄（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞）；
（2）當k≤1時，f（x）=2^|x|≥k恒成立，
故g_k（x）=f（x）=2^|x|，
故g_k（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，
當k＞1時，
當f（x）=2^|x|≥k，即x≥log₂k或x≤-log₂k時，
g_k（x）在區(qū)間[log₂k，+∞）為增函數(shù)，
當f（x）=2^|x|＜k，即-log₂k＜x＜log₂k時，
則若使g_k（x）在區(qū)間（0，log₂k）上是增函數(shù)，
則-$\frac{2（k-4）}{2}$≤0，
即k≥4；
若使g_k（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，
則還需使$lo{{g}_{2}}^{2}k$+2（k-4）log₂k+（k-4）（k-3）≤k；
即（log₂k+k-6）（log₂k+k-2）≤0，
故2≤log₂k+k≤6；
又∵k≥4，
∴k=4；
綜上所述，
k的取值范圍為（-∞，1]∪{4}．

點評 本題考查了分段函數(shù)與絕對值函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．