Question

13．（1）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)N，若∠F₁NF₂=60°．求橢圓的離心率；
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在雙曲線上存在一點(diǎn)M，使得|OM|=2a，且∠F₁MF₂=60°，求雙曲線的漸進(jìn)線方程及離心率；
（3）已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|+|PA|的最小值；
（4）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L(zhǎng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，求△AKF的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)左焦點(diǎn)為（-c，0），令x=-c，代入橢圓方程，求得N的坐標(biāo)，運(yùn)用解直角三角形，可得離心率；
（2）設(shè)M為右支上一點(diǎn)，|F₁M|=s，|MF₂|=t，運(yùn)用余弦定理和雙曲線的定義、中線長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，解方程可得離心率和漸近線方程；
（3）設(shè)出右焦點(diǎn)F'，由雙曲線的定義和兩點(diǎn)間線段最短，可得最小值；
（4）設(shè)出直線方程，代入拋物線的方程，求得A的坐標(biāo)，再由拋物線的定義，可得三角形AKF的面積．

解答 解：（1）設(shè)左焦點(diǎn)為（-c，0），令x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可取N（-c，$\frac{^{2}}{a}$），即有tan60°=$\frac{2c}{\frac{^{2}}{a}}$，即2ac=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（a²-c²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）在△F₁MF₂中，∠F₁MF₂=60°，|OM|=2a，
設(shè)M為右支上一點(diǎn)，|F₁M|=s，|MF₂|=t，
即有s²+t²-2stcos60°=4c²，①
又s-t=2a②，2（s²+t²）=4c²+16a²③
聯(lián)立①②③可得c²=2a²，a=b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，漸近線方程為y=±$\frac{a}$即為y=±x；
（3）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，
由雙曲線的定義可得，|PF|-|PF'|=2a=4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4，
連接AF'，可得|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)'三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值9；
（4）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為L(zhǎng)：x=-1，
過(guò)點(diǎn)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線為y=$\sqrt{3}$（x-1），代入拋物線方程，可得
3x²-10x+3=0，解得x=3或$\frac{1}{3}$，
取A（3，2$\sqrt{3}$），由拋物線的定義可得|AK|=3+1=4，
則△AKF的面積為$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．