Question

（2012•保定一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線C_l：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），圓C₂：ρ=1（極坐標(biāo)軸與x軸非負(fù)半軸重合）
（1）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，求直線C₁被圓C₂所截得的弦長(zhǎng)；
（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C₁的垂線，垂足為A、當(dāng)a變化時(shí)，求A點(diǎn)的軌跡的普通方程．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，直線C₁化為普通方程為y=

3

（x-1），圓C₂：ρ=1，即 x²+y²=1，聯(lián)立方程組求出直線C₁與圓C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．
（2）由于直線C_l過(guò)定點(diǎn)M（1，0），設(shè)垂足A的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得

OA

⊥

AM

，故 

OA

•

AM

=0，化簡(jiǎn)可得A點(diǎn)的軌跡的普通方程．

解答：解：（1）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，直線C₁即

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

，消去t，化為普通方程為y=

3

（x-1）．
圓C₂：ρ=1，即 x²+y²=1，
由

x2+y2=1 y= 3 (x-1)

 解得直線C₁與圓C₂的交點(diǎn)為（1，0）、（

1

2

，

3

2

），
故直線C₁被圓C₂所截得的弦長(zhǎng)為

(1- 1 2 )2+(0- 3 2 )2

=1．
（2）由于直線C_l：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）過(guò)定點(diǎn)M（1，0），
設(shè)垂足A的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得

OA

⊥

AM

，故 

OA

•

AM

=0．
故有（x，y）•（1-x，0-y）=x（1-x）-y²=0，
化簡(jiǎn)可得 x²+y²-x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓相交的性質(zhì)，求點(diǎn)的軌跡方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．