Question

直角坐標(biāo)平面上，有2013個(gè)非零向量

a1

、

a2

、

a3

、…、

a2013

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，…，2012），各向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為非負(fù)實(shí)數(shù)，若|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=l（常數(shù)），則|

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于2013個(gè)非零向量

a1

、

a2

、

a3

、…、

a2013

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，…，2012），各向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為非負(fù)實(shí)數(shù)，不妨設(shè)圖形如圖所示．設(shè)

a1

+

a3

+…+

a2013

=

OA

=（m，0），

a2

+

a4

+…+

a2012

=

OB

=（0，n）．可得

OA

⊥

OB

，|

OA

|=|

a1

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=m，|

OB

|=|

a2

|+|

a4

|+…+

|a2012

|=n．又|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=l（常數(shù)），即m+n=l，再利用均值不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：由于2013個(gè)非零向量

a1

、

a2

、

a3

、…、

a2013

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，…，2012），各向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為非負(fù)實(shí)數(shù)，不妨設(shè)圖形為：
設(shè)

a1

+

a3

+…+

a2013

=

OA

=（m，0）

a2

+

a4

+…+

a2012

=

OB

=（0，n）．
則

OA

⊥

OB

，|

OA

|=|

a1

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=m，
|

OB

|=|

a2

|+|

a4

|+…+

|a2012

|=n．
又|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=l（常數(shù)），
∴m+n=l，
∵

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

=

OA

+

OB

=（m，n），
∴|

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

|=|

OA

+

OB

|
=

m2+n2

≥

m+n

2

=

2

2

l，當(dāng)且僅當(dāng)|

OA

|=|

OB

|=

1

2

l時(shí)取等號(hào)．
∴|

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

|的最小值為

2

2

l．
故答案為：

2

2

l．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的加法運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題．