Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，.

（1）求四棱錐的體積；

（2）求證：∥平面；

（3）求直線和平面所成的角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證得側(cè)棱底面，體積。

（2）證得 ∥且，

由四邊形是平行四邊形，得到 ∥，推出∥平面 。

（3）直線和平面所成的角的正弦值是。

【解析】

試題分析：（1）∵ ⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥

∵ ,、是平面內(nèi)的兩條相交直線

∴ 側(cè)棱底面            2分

在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，

，，∴ ∥且，

所以，四棱錐的體積是。

（2）在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，

，

∴ ∥且，

∴ ∥且

∴ 四邊形是平行四邊形

∴ ∥

∵，

∴ ∥平面             8分

（3）∵ 側(cè)棱底面，底面

∴

∵垂直于，、是平面內(nèi)的兩條相交直線

∴ ，垂足是點(diǎn)

∴ 是在平面內(nèi)的射影，

∴ 是直線和平面所成的角

∵ 在中，，

∴

∴

∴  直線和平面所成的角的正弦值是            12分

考點(diǎn):平行關(guān)系，垂直關(guān)系，體積與角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識(shí)加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標(biāo)系，往往能簡(jiǎn)化解題過程。