Question

已知函數(shù)f（x）=x²•e^ax，x∈R，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）設(shè)a=-1，x∈[-1，1]，求函數(shù)y=f（x）的最值；
（2）若對(duì)于任意的a＞0，都有成立，x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)先求出函數(shù)的極值，再將他與端點(diǎn)值比較，最大的極為最大值，反之極為最小值
（2）原命題等價(jià)于對(duì)任意a＞0，恒成立，即對(duì)任意a＞0恒成立．將a分離出來(lái)得到，求出的最小值，
從而得到即可
解答：解（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²•e^-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=-x（x-2）e^-xf′（x）=0⇒x=0或x=2，
f（x），f′（x）隨x變化情況如下表：

∴x∈[-1，1]時(shí)，f_max（x）=e，f_min（x）=0
（2）命題等價(jià)于對(duì)任意a＞0，x²•e^ax≤2x•e^ax+ax²•e^ax+恒成立，
即x²≤2x+ax²+對(duì)任意a＞0恒成立．
-3x，a+（a＞0）
又∵a＞0∴a+=2
只需≤2⇒x≤-2或x≥-1．
綜上：x的取值范圍為x≤-2或x≥-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，基本不等式，還有變量分離，屬于基礎(chǔ)題．