Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求證：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，當三棱錐P-ABC的體積 最大時，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由線線垂直證線面垂直，再由線面垂直證面面垂直即可；
（2）根據(jù)棱錐的體積公式，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)的最大值，求得三棱錐的體積的最大值及最大值時的條件．
解答：解：（1）證明：∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA，又PA∩CA=A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（2）由（1）知：PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
設(shè)BC=x（0＜x＜2），AC===，
V_P-ABC=×S_△ABC×PA=x=
≤×=．
當且僅當x=時，取“=”，
故三棱錐P-ABC的體積最大為，此時BC=．
點評：本題考查面面垂直的判定及三棱錐的體積．