Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$，則|$\overrightarrow{a}$|=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)$＜\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$=θ，非零向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$3{\overrightarrow}^{2}$+3$\overrightarrow{c}•\overrightarrow$，${\overrightarrow{a}}^{2}=9（{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}）$+18$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，代入化簡即可得出．

解答 解：設(shè)$＜\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$=θ，
∵非零向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$3{\overrightarrow}^{2}$+3$\overrightarrow{c}•\overrightarrow$，${\overrightarrow{a}}^{2}=9（{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}）$+18$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，
∴$|\overrightarrow{a}|×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3+3cosθ，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=18+18cosθ，
化為$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$-3$\sqrt{2}$$|\overrightarrow{a}|$=0，$|\overrightarrow{a}|≠$0，
解得$|\overrightarrow{a}|$=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．