Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA₁⊥AC₁。

（I）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距離；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小。

Answer 1

（1）證明：因為A1D⊥平面ABC， 所以，平面AA1C1C⊥平面ABC， 又BC⊥AC， 所以，BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1， 又BA1⊥AC1， 所以，AC1⊥平面A1BC。
（2）解：因為AC1⊥A1C，所以四邊形AA1C1C為菱形，故AA1=AC=2， 又D為AC中點，知∠A1AC=60°， 取AA1的中點F，則AA1⊥平面BCF， 從而，平面A1AB⊥平面BCF， 過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A1AB， 在Rt△BCF，BC=2，CF=，故， 即CC1到平面A1AB的距離為。 （3）過H作HG⊥A1B于G，連CG，則CG⊥A1B， 從而∠CGH為二面角A-A1B-C的平面角， 在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=， 在Rt△CGH中，， 故二面角A-A1B-C的大小為。