Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)x＞y＞e時(shí)，證明不等式e^xlny＞e^ylnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出a的值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{lnx}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
當(dāng)a≤0時(shí)，ax-1＜0，從而f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，若$0＜x＜\frac{1}{a}$，則ax-1＜0，從而f'（x）＜0，
若$x＞\frac{1}{a}$，則ax-1＞0，從而f'（x）＞0，
函數(shù)在$（0，\frac{1}{a}）$單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$單調(diào)遞增．             …（4分）
（2）根據(jù)（1）函數(shù)的極值點(diǎn)是$x=\frac{1}{a}$，若$\frac{1}{a}=1$，則a=1，
∴f（x）≥bx-2，即x-1-lnx≥bx-2，
∵x＞0，即b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
得：x=e²是函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
故g（x）_min=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（3）由e^xlny＞e^ylnx即$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{lnx}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（lnx-1）}{{ln}^{2}x}$，x∈（e，+∞），h′（x）＞0，
即h（x）在（e，+∞）遞增，
∵x＞y＞e，
∴$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，
∴e^xlny＞e^ylnx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．