Question

已知橢圓x²+（m+3）y²=m（m＞0）的離心率e=

3

2

，求m的值及橢圓的長軸長，短軸長、焦點坐標及頂點坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出a，b，c，由e=

3

2

，得

m+2 m(m+3)

=

3

2

，求出m的值，從而求出橢圓的方程，及橢圓的長軸長，短軸長、焦點坐標及頂點坐標．

解答： 解：橢圓方程可化為

x2

m

+

y2

m m+3

=1，
因為m-

m

m+3

=

m(m+2)

m+3

＞0，所以m＞

m

m+3

，
即a²=m，b²=

m

m+3

，c=

a2-b2

=

m(m+2) m+3

，
由e=

3

2

，得

m+2 m(m+3)

=

3

2

，解得m=1，
所以a=1，b=

1

2

，橢圓的標準方程為x²+

y2

1 4

=1，
所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1，四個頂點的坐標分別為 A₁（-1，0），A₂（1，0），B₁（0，-

1

2

），B₂（0，

1

2

）．

點評：本題考查了橢圓的性質及橢圓的長軸長，短軸長、焦點坐標及頂點坐標．