Question

【題目】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求曲線在處的切線的方程；

（2）若對于任意實(shí)數(shù)，恒成立，試確定的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）不存在,理由見解析

【解析】

(1) 求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程;

(2) 討論和，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù),求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得最值，進(jìn)而

得到所求的范圍;

(3)依題意,，求出導(dǎo)數(shù)，可令， 求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、可得最值，進(jìn)而得到M(x)的單調(diào)性，即可判斷存在性.

（1），.

在處的切線斜率為，

∴切線的方程為，即.

（2）∵對于任意實(shí)數(shù)，恒成立，

∴若，則為任意實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立；

若，恒成立，即，在上恒成立，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，

所以的取值范圍為.

綜上，對于任意實(shí)數(shù)，恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）依題意，，所以，

設(shè)，則，當(dāng)，

故在上單調(diào)增函數(shù)，因此在上的最小值為，

即，又，所以在上，

，即在上不存在極值.