Question

若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy=30．求xy，x+y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由條件解出x，注意由x，y＞0，可得0＜y＜15．令t=1+y，（1＜t＜16），則y=t-1，分別代入xy，x+y，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式求出最值，再討論兩端點(diǎn)的函數(shù)值大小，即可得到范圍．

解答： 解：由于x，y∈（0，+∞），x+2y+xy=30，
則x=

30-2y

1+y

，由x，y＞0，可得0＜y＜15．
則xy=

y(30-2y)

1+y

，x+y=

30+y2-y

1+y

，
令t=1+y，（1＜t＜16），則y=t-1，
則有xy=

2(t-1)(16-t)

t

=2[17-（t+

16

t

）]，
x+y=

30+(t-1)2-(t-1)

t

=t+

32

t

-3，
由于1＜t＜16，則8≤t+

16

t

＜17，
則有xy的取值范圍是（0，18]；
對(duì)于t+

32

t

≥8

2

，t=4

2

∈（1，16），則取得最小值8

2

，t→1，t+

32

t

→33，
則有x+y的取值范圍是[8

2

-3，30）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)和變形能力，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．