Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，總存在正數(shù)使得， 恒成立：數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意正整數(shù)， 恒成立.

（1）求常數(shù)的值；

（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）若，記 ，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)， 恒成立，若存在，求正整數(shù)的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）正整數(shù)的最小值為4

【解析】試題分析：（1）根據(jù)， ，可得，根據(jù)題意令和，即可求出，從而求出；（2）由，得，兩式做差得，從而可證數(shù)列為等差數(shù)列；（3）根據(jù)（2）可得，結(jié)合（1），表示出，作出，然后令，即可求出的最大值，從而求出正整數(shù)的最小值.

試題解析：（1）∵①

∴②，，

①-②得： ，即， ，

又

∴， ，

時(shí)， ； 時(shí)， .

∵為正數(shù)

∴.

又∵， ，且

∴.

（2）∵③

∴當(dāng)時(shí)， ④，

∴③-④得： ，即⑤，

又∵⑥

∴⑤+⑥得： ，即

∴為等差數(shù)列.

（3）∵， ，由（2）知為等差數(shù)列

∴.

又由（1）知，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

令得，

∴，解得，

∴時(shí)， ，即，

∵時(shí)， ，

∴，即.

此時(shí)，即，

∴的最大值為

若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)， 恒成立，則，

∴正整數(shù)的最小值為4.